Historia de la geometría 3: geometría no Euclideana

Durante 2000 años muchos matemáticos dedicaron su tiempo y sus esfuerzos a completar con nuevos teoremas esa gran construcción que es la geometría de Euclides. Algunos de ellos trataron de reducir el número inicial de postulados, pues se pensaba que el 5º postulado podía demostrarse a partir de los otros cuatro. Es decir, querían convertir el 5º axioma en teorema, en cuyo caso bastaría aceptar los cuatro primeros axiomas y tomarlos como punto de partida para obtener finalmente la misma geometría.

De la misma forma que un arquitecto calcula los cimientos precisos para que la torre que desea construir sea lo más esbelta posible, así hacen los matemáticos cuando buscan los axiomas más convenientes para su teoría y, cuantos menos axiomas utilicen, más elegante será el resultado final.

Para convertir el 5º postulado en un teorema, era necesario obtener una demostración, y a ello se dedicaron sin éxito muchos matemáticos a lo largo de varios siglos. Fue a principios del siglo XIX cuando tres matemáticos, Lobachevski en Russia, Gauss en Alemania y Bolyai en Hungría, dieron con un resultado inesperado que arrojó una nueva luz sobre esta cuestión. Trabajaron independientemente unos de otros en la elaboración de modelos geométricos que mantenían los cuatro primeros postulados de Euclides a la vez que negaban el quinto. Esperaban que una geometría en la que se negara que "por un punto exterior a una recta pasa una única paralela", sería una geometría incoherente y llena de contradicciones.

Existen diversas propuestas y tipos de Geometrías no Euclidianas, algunos ejemplos son: Geometría Hiperbólica, Geometría Esférica. Las Geometrías no Euclidianas son muy importantes para el desarrollo de la Física, específicamente en la Astronomía. También es fundamental para conocer el Universo matemático, ampliar el Horizonte de dos y tres dimensiones a un posible Universo de n dimensiones.

Un triángulo en una superficie con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperbólico), así como dos rectas paralelas divergentes. Fuente